Criterios de La Divisibilidad

Hoy explicaremos los criterios de la divisibilidad, los números primos, el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor. Además de los ejemplos y ejercicios con soluciones que están más abajo.

La relación de la divisibilidad

Dos números tienen una relación de divisibilidad cuando uno cabe en el otro en una cantidad exacta de veces, es decir, cuando su cociente es exacto

Por ejemplo:

  • En un armario de 100 cm de ancho, caben exactamente 50 camisas de 2 cm de ancho
    • Es decir: 100\div2=50 camisas
    • Pero ahora imaginemos que queremos meter unas chaquetas de 3 cm. Ahora cabría 100\div 3= 3 +(10\div 3) eso dará 3,33

Múltiplos y divisores

En el ejemplo anterior debemos de identificar que:

  • 100 es divisible entre 2
  • Además 100 es múltiplo de 2
  • y que 2 es divisor de 100
  • Todo esto se ve mejor más adelante

Múltiplos de un número

Los múltiplos son números grandes que suelen estar contenidos ciertas veces. Los múltiplos de un número natural, se obtienen al multiplicar cierto número por otro cualquiera, esto genera múltiplo de ese número.

Todo numero es multiplo de si mismo y de 1

Vamos a verlo con un ejemplo

  • Múltiplos de 15 :
    • 15\cdot 2
    • 15\cdot 4
    • 15\cdot 5
    • 15\cdot k
      Donde k es un número natural cualquiera
  • Múltiplos de a
    • a\cdot 2
    • a\cdot 3
    • a\cdot 4
    • a\cdot k
      Donde k es un número natural cualquiera
  • Múltiplo de 20
    • 20 es múltiplo de 2
    • 20 es múltiplo de 5
    • 20 es múltiplo de 4

Los múltiplos también se denotan como múltiplo de 2, es decir, un punto encima del número.

\dot{2}
Sin flecha

Divisores de un número

Los divisores, son números que caben de igual o menor tamaño en otros, en un número exacto de veces. Por ejemplo, divisores de 15:

  • 15 \div 1
     Si, porque da 15, un número exacto
  • 15 \div 2
     NO, porque 
    15\div 2= 7,5
    no da un número exacto.
  • 15 \div 3
     Si, porque da 5, un número exacto
  • 15 \div 4
     NO, porque 
    15 \div 4=3,75
     no da un número exacto.
  • 15 \div 5
     Si porque da 5, un número exacto.

Vamos a verlo ahora en forma más teórica:

  • \left.\begin{matrix} a\div b= c\\ a\div c= b \end{matrix}\right\}
     Si 
    b\cdot c=a
    entonces 
    b y c
    son divisores de a

Criterios de divisibilidad

Cómo averiguar si un número es múltiplo de 2

  • El número debe de terminar en una cifra par: 0,2,4,6,8

Cómo averiguar si un número es múltiplo de 3

  • Un número es múltiplo de 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3
  • Por ejemplo:
    • 3\cdot 12=36\Rightarrow 3+6=9 \Rightarrow \dot{3}
    • 3\cdot 9=27\Rightarrow 2+7=9\Rightarrow \dot{3}
    • 3\cdot 1=3\Rightarrow 3\Rightarrow \dot{3}
    • 3\cdot 14=42\Rightarrow 4+2=6\Rightarrow \dot{3}

Cómo averiguar si un numero es multiplo de 5

  • El número debe de acabar en 5 ó en 0

Números primos y compuestos

Nosotros podemos coger un número y descomponerlo en partes más pequeñas, para ello los descomponemos en números primos

Por ejemplo:

  • Podemos descomponer 30 en 3\cdot 2\cdot 5, estos serían los números compuestos. Por ello 30 es múltiplo de 2, de 3 y de 5.
  • Otro ejemplo sería descomponer 
    22=2\cdot 11
    ahora nos fijamos en una cosa, y es que no podemos descomponer 11 en números más pequeños y a la vez exactos, esto quiere decir que el número 11 es un número primo.

En resumen, todas aquellos números que no son números primos son compuestos. Más abajo tiene una tabla de todos los números primos hasta 100. Todos aquellos que no son primos, son compuestos.

Los números primos

Son ciertos números que no son posibles de descomponer en números enteros. Si decidimos descomponer un número primo; solamente quedaría descompuesto en sí mismo y en 1

Por ejemplo:

  • 7=7\cdot 1
  • 3=3\cdot 1
  • 2=2\cdot 1

Os dejo una tabla donde puede ver algunos de los números primos hasta el 100

Tabla completa de números primos
Tabla completo de números primos

La divisibilidad, mejor dicho, la división entre los números primos es casi imposible, ya que da números decimales. Es por eso que para lo que leerá más adelante la división tiene que dar números enteros.

Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo se expresa como m.c.m (a,b,c) y este consiste en descomponer a, b, c. Una vez descompuesto coger el mayor número de las partes que compartan. Vamos a verlo mejor con un ejemplo

m.c.m(12,8,10)
  • Descomponemos
    12=2\cdot 2\cdot 3=2^{2}\cdot 3
  • Descomponemos
    8=2\cdot 2\cdot 2=2^{3}
  • Descomponemos 
    10=2\cdot 5
  • Ahora procedemos a coger todos los numeros que esten en los tres, y los cogemos en mayores cantidades
    • Vemos que el dos, está en los tres números, y como lo cogemos en mayores cantidades, el mayor de todos los doses es el 
      2^{3}
    • También cogemos el 5, y el 3
  • Por todo el proceso él
    m.c.m (12,8,10)=2^{3}\cdot 3\cdot 5 es decir 120

Recomendamos practicar el mínimo común múltiplo con nuestros ejercicios, que vienen con sus soluciones correspondientes. Ejercicios de Mínimo Común Múltiplo.

Por último quiero recordaros que el uno también es un multiplicador cuando descomponemos un número, pero al multiplicar por uno todo sigue igual y es por ello que no se suele coger.

Máximo común divisor

Es parecido al mínimo común múltiplo, se expresa como m.c.d(a,b,c), pero aquí descomponemos los números y escogemos los que estén en todos los números descompuestos.

Por ejemplo:

  • m.c.d (8,12,10)
    • Descomponemos el 
      8= 2\cdot 2\cdot 2
    • Descomponemos el 
      12=2\cdot 2\cdot 3
    • Descomponemos el 
      10=2\cdot 5
    • Ahora nos fijamos que número y cuántas veces está en los tres números descompuestos
      Vemos que lo único que se repite, es un 2, por ello m.c.d(8,12,10)=2

Además de los criterios de la divisibilidad y todo lo anterior, le recomendamos que lo repase con nuestros ejercicios, que cuentan con sus soluciones correspondientes.

También para finalizar con el tema, os dejamos ejercicios de todo lo que se ha dado en esta unidad.

Ejercicios de Divisibilidad
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